DOCENTES

Contenido del curso

• T1. Regresión Lineal, suposiciones y requisitos.
• T2. Estimación de los parámetros e interpretación de los valores.
• T3. Pruebas de hipótesis relacionadas con los parámetros.
• T4. Evaluación de modelos de acuerdo a las suposiciones de normalidad e independencia.
• T5. Transformaciones de las variables, y sus implicaciones en las pruebas de hipótesis.
• T6. Series de Tiempo. Estacionariedad y cómo obtener una serie estacionaria a partir de una que no lo es. Correlogramas.
• T7. Modelos de Box y Cox. Estimación de parámetros.
• T8. Criterios de evaluación de un modelo de series de tiempo. Transformaciones.

Bibliografía.

Regression Modeling and Data Analysis with Applications in R. Samprit Chatterjee, Jeffrey S. Simonoff
Montgomery, D. C., Peck, E. A., & Vining, G. G. (2002). Introducción al análisis de regresión lineal (3ª ed.). Limusa Wiley.
Time Series Analysis and Its Applications: With R Examples by Shumway and Stoffer.
Time Series Analysis: Forecasting and Control by Author(s): George E. P. Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, Greta M. Ljung.
https://fhernanb.github.io/libro_regresion/rls.html#modelo-estad%C3%ADstico
https://bookdown.org/victor_morales/SeriesdeTiempo/

Motivación

Los métodos de regresión son técnicas estadísticas utilizadas para modelar y comprender la relación entre variables. La motivación detrás de estos métodos radica en la necesidad de analizar y cuantificar cómo una o más variables predictoras influyen en una variable respuesta. Los métodos de regresión son ampliamente utilizados en diversos campos, incluyendo la investigación científica, la economía, la medicina, la ingeniería y más. A continuación, se detallan algunas de las principales motivaciones detrás de estos métodos:

Modelado de Relaciones:

La motivación fundamental de la regresión es modelar la relación entre variables. En muchos casos, existe la necesidad de entender cómo una variable dependiente cambia en función de una o más variables independientes. Por ejemplo, en la economía, podría ser necesario entender cómo las tasas de interés afectan el gasto del consumidor.

Predicción y Estimación: Los modelos de regresión también se utilizan para hacer predicciones y estimaciones. Dado un conjunto de datos históricos, los modelos de regresión pueden ayudar a predecir valores futuros de la variable dependiente en función de los valores de las variables independientes. Esto es especialmente útil en campos como la meteorología, la finanzas y el marketing.

Control y Optimización: En algunos casos, se utilizan modelos de regresión para optimizar y controlar procesos. Por ejemplo, en la manufactura, los modelos de regresión pueden usarse para identificar las condiciones ideales que conducen a la máxima eficiencia o calidad del producto.

Validación de Teorías: En la investigación científica y social, los modelos de regresión pueden usarse para validar o refutar teorías existentes. Al comparar los resultados del modelo con las expectativas teóricas, se puede evaluar la validez de las hipótesis.

Gestión de Riesgos: Los modelos de regresión también se utilizan para evaluar riesgos y tomar decisiones informadas. En finanzas, por ejemplo, se pueden utilizar para evaluar el riesgo de inversión y la exposición a diferentes factores del mercado.

Ejemplo

El modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) es un modelo de valoración de activos financieros desarrollado por William Sharpe que permite estimar su rentabilidad esperada en función del riesgo sistemático. Su desarrollo está basado en diversas formulaciones de Harry Markowitz sobre la diversificación y la teoría moderna de portafolios. Dos puntos claves son:

1. El modelo CAPM es utilizado para calcular la rentabilidad que un inversionista debe exigir al realizar una inversión en un activo financiero en función del riesgo que está asumiendo.
2. El modelo CAPM establece una relación lineal entre el rendimiento esperado de un activo y su riesgo sistemático, medido por su \(\beta_i\).

La fórmula del modelo CAPM es la siguiente:

\(E(r_i)=r_f+\beta_i*(E(r_m)-r_f)\)

Donde:

\(E(r_i)\) es la tasa de rentabilidad esperada de un activo concreto. \(rf\) es la rentabilidad del activo sin riesgo. \(\beta_i\) es la medida de la sensibilidad del activo respecto a su benchmark. \(E(r_m)\) es la tasa de rentabilidad esperada del mercado en que cotiza el activo.

Análisis de Causa y Efecto: Los modelos de regresión pueden ayudar a establecer relaciones causa-efecto entre variables. Esto es útil para comprender cómo los cambios en una variable influyen en otras variables y viceversa.

En resumen, la motivación detrás de los métodos de regresión radica en la necesidad de entender, modelar, predecir y cuantificar las relaciones entre variables en una variedad de campos. Estos métodos permiten tomar decisiones informadas, realizar análisis profundos y obtener información valiosa a partir de los datos disponibles.

1.1 Lectura de datos

A continuación, cargaremos dos tablas de datos que contienen información sobre el precio del dolar, también conocida como tasa representativa del mercado, y otra con la información del precio del aguacate Hass tomada de una fuente gubernamental y de la página del SIPSA.

Los enlaces para acceder a información relacionada son:

https://www.agronet.gov.co/estadistica/Paginas/home.aspx?cod=11 https://www.bde.es/webbe/es/estadisticas/temas/tipos-cambio.html

# Cargue y limpieza de datos.

dolar <- read.csv2("datasets/Tasa_de_Cambio_Representativa_del__Mercado_-Historico.csv") %>% 
  clean_names()
hass <- read.xlsx("datasets/Hass_Precios_Historicos.xlsx") %>% clean_names()

1.2 Creación de funciones.

Se programa una función de flextable que mejorará la impresión de tablas de resumen. Para usarla sólo bastará invocar la función ftable() al final de la sentencia (usando %>% tidyverse) o con el ftable() encapsular o encerrar la tabla que se quiere ajustar.

# Funciones

## Función para crear flextable
ftable <- function(x) {
  x %>% 
    flextable() %>% 
    theme_vanilla() %>%
    color(part = "footer", color = "#666666") %>%
    color( part = "header", color = "#FFFFFF") %>%
    bg( part = "header", bg = "#2c7fb8") %>%
    fontsize(size = 11) %>%
    font(fontname = 'Calibri') %>%
    # Ajustes de ancho y tipo de alineación de las columnas
    set_table_properties(layout = "autofit") %>% 
    # width(j=1, width = 3) %>%
    align(i = NULL, j = c(2:ncol(x)), align = "right", part = "all")
}

Como ejemplo del uso de la función:

Sin flextable

dolar %>% 
  head(5) 

##      valor unidad vigenciadesde vigenciahasta
## 1 4,761.64    COP      22/12/22      22/12/22
## 2 4,781.28    COP      20/12/22      20/12/22
## 3 4,802.48    COP      17/12/22      19/12/22
## 4 4,836.24    COP      13/12/22      13/12/22
## 5 4,815.99    COP      10/12/22      12/12/22

Con flextable

dolar %>% 
  head(5) %>% 
  ftable()

1.3 Depuración de los datos

# Vamos a sacar un valor promedio de cada variable por mes
#Para el dolar vamos a tomar el campo vigenciadesde

dolar <- dolar %>% 
  mutate(fecha = as.Date(vigenciadesde, format = "%d/%m/%y")) %>% 
  mutate(mes = month(fecha), anio = year(fecha)) %>% 
  mutate(valor = as.double(str_replace(valor,",",""))) %>% 
  group_by(anio,mes) %>%
  summarise(precio_dolar = mean(valor), .groups = "drop") 

dolar %>%
  datatable()

hass %>% 
  head(5) %>% 
  ftable()

# 🖇️ Se genera el vector de meses para usarlo más abajo con la función match.
meses <- c("Enero", "Febrero", "Marzo", "Abril", "Mayo",
           "Junio", "Julio", "Agosto", "Septiembre", "Octubre",
           "Noviembre", "Diciembre")

hass <- hass %>% 
  # Otra forma de sacar el anio.
  #mutate(anio = substring(fecha,nchar(fecha)-4,nchar(fecha))) %>% 
  #mutate(espacio = grepl(", ",fecha))
  mutate(mes = sapply(strsplit(fecha, " "), "[", 2),
         anio = sapply(strsplit(fecha, " "), "[", 5)) %>% 
  mutate(anio = as.double(anio)) %>% 
  # 🖇 Se utiliza la función match con el vector meses.
  mutate(mes = match(mes,meses)) %>% 
  group_by(anio,mes) %>%
  summarise(precio_aguacate_kg = mean(precio_kg), .groups = "drop") 

hass %>% datatable()

hass_dolar <- dolar %>% 
  right_join(hass, by = c("mes","anio")) 

hass_dolar %>% 
  head(5) %>% 
  ftable()

1.4 Diagrama de dispersión.

hass_dolar %>% 
  ggplot(aes(x= precio_dolar, y= precio_aguacate_kg )) +
  geom_point()+ theme_light()

Cómo se puede notar uno intuye que hay alguna relación entre ambas variables en la medida en que parece suceder que cuando el precio del dólar aumenta, también lo hace el precio de aguacate. La relación no es perfecta pues no vemos una curva suave que sea capaz de pasar por todos los puntos, más bien debemos reconocer que hay ciertas variaciones en el proceso. Estas variaciones pueden deberse a factores no contemplados por el modelo, después de todo no podemos esperar que el precio del aguacate dependa exclusivamente del precio del dólar.

1.5 Generando un modelo súper simplificado (modelo ingenuo)

Ahora vamos a generar el modelo más sencillo que podamos imaginar para predecir el precio del aguacate, al cual llamaremos un modelo ingenuo. La razón del apelativo es que el modelo “ingenuamente” supondrá que es posible predecir el precio que tendrá el aguacate con el promedio histórico.

La siguiente gráfica muestra la linea horizontal que simboliza el promedio histórico del precio del aguacate. También debe notar que predecir basado en esta línea es despreciar cualquier aporte de la variable precio del dólar en la predicción, es decir, es un modelo que no explota la relación (sea esta débil o sea esta fuerte) entre el precio del aguacate y su variable explicativa precio del dólar.

ggplot(data = hass_dolar,
       aes(x= precio_dolar, y= precio_aguacate_kg )) +
geom_point()+ 
geom_hline(yintercept = mean(hass_dolar$precio_aguacate_kg),
           color = "red")+
geom_text(data=hass_dolar,
          aes(x= 5700, y = mean(hass_dolar$precio_aguacate_kg),
              label = paste("Precio promedio histórico: $",
                            round(mean(hass_dolar$precio_aguacate_kg), 2))),
          hjust = 1.2, vjust = -0.2, color = "red"
) +
theme_light()

Observe que el modelo ingenuo no sería tan inadecuado en dos circunstancias:

• Si los datos se encuentran muy cercanos al precio histórico de manera consistente sin importar en que valor del precio del dólar me posicione. Lo que vendría a indicar un escenario donde moverme a lo largo de diferentes valores del precio del dólar no genera ningún patrón de distanciamiento frente al valor histórico de referencia.

• Si los datos del precio del aguacate se alejan de la línea histórica de referencia pero el precio del dólar tampoco puede seguirlos, es decir, si la relación entre precio del dólar y precio del aguacate se parece a una nube de puntos sin ningún patrón o tendencia evidente. En este caso cualquier cosa que supongamos de la relación entre precio de dólar y precio del aguacate será producto de nuestra imaginación 🤦🤦

En estos dos escenarios es mejor retener el modelo ingenuo a falta de una variable que de verdad explique lo que pasa con el precio del aguacate.

Ahora bien, ninguno de los dos escenarios anteriores parece ser el nuestro, más bien acá se nota que el precio del dólar si está acompasado con el precio del aguacate. Sin embargo antes de entrar en la búsqueda de esas relaciones es importante notar dos cosas:

• El modelo ingenuo es mi modelo de referencia, esto significa que si un modelo predictivo construido para predecir el precio del aguacate es mejor, lo tendrá que ser respecto a este modelo ingenuo.

• Es posible medir el desajuste actual de mi modelo ingenuo tomando la distancia de cada punto a la recta horizontal de promedio histórico, esto es:

1.6 Calidad de ajuste del modelo ingenuo

Sea \(e_i = y_i - \bar{y}\) las diferencia entre el dato del precio de aguacate \(y_i\) y el promedio histórico \(\bar{y}\). Como tengo muchas diferencias, será necesario definir una métrica resumen, por conveniencia elijamos la suma de los cuadrados de las diferencias, debido a que si sumamos las diferencias, éstas se me compensarán, pues diferencias negativas cancelarán las positivas, y no quiero esto. Más bien me interesa que ambas sumen a mi medida de desajuste. Llamemos a esta medida la suma de cuadrados del error:

\[SCE_{\text{ingenuo}} = \sum^{n}_{i=1}e_i²=\sum^{n}_{i=1}(y_i - \bar{y})²\]

En la definición de la cantidad quisimos usar el subíndice “ingenuo” para nombrar al SCE, esto con el fin de hacer énfasis que tal métrica se asocia al modelo, si el modelo cambia a otro tipo de modelo el SCE cambiará también: será la distancia de cada \(y_i\) a la curva definida por el otro modelo. Veremos esto más adelante. No obstante ya podemos sacar nuestras primeras conclusiones:

1. Entre más grandes sean cada una de las distancias \(e_i\) individuales, más grande será SCE.
2. Todas las distancias contribuyen con igual importancia al SCE, excepto en lo que se refiere a su magnitud no hay porque pensar que un distanciamiento de \(u\) unidades sea más importante que otro de las mismas \(u\) unidades. Esto puede ser obvio pero no lo es cuando, por ejemplo, queremos castigar más las distancias que se dan en la zona central del gráfico que las que se dan en los extremos del gráfico.
3. El SCE es sensible a la cantidad de datos, razón por la cual entre más datos (es decir entre más grande sea n), más grande será SCE. Esto dificulta seriamente la posibilidad de comparar modelos que fueron calculados sobre una cantidad distinta de puntos.

De acuerdo con lo anterior modifiquemos un poco nuestra definición de desajuste, así:

\[MSE_{\text{ingenuo}} = \color{red}{\frac{1}{n}}\sum^{n}_{i=1}(y_i - \bar{y})²\]

Es decir, nuestra medida de desajuste será el promedio de la suma de las diferencias cuadradas de cada dato \(y_i\) respecto a su media \(\bar{y}\), dicho de otra manera la varianza de la variable \(Y\) a predecir!!!!

A continuación invitamos al estudiante a calcular la varianza de la variable a predecir, es decir, el desajuste del modelo ingenuo.

# En esta sección el estudiante desarrollará los cálculos.

# 💡 Recordemos que la varianza de los residuales respecto del modelo ingenuo, es la misma varianza de la variable a predecir.

Observe el siguiente gráfico en el que hemos pintado las distancias que hay entre cada dato \(y_i\) observado y el promedio histórico (valor predicho \(\bar{y}\) por el modelo ingenuo)

hass_dolar %>% 
  ggplot(aes(x= precio_dolar, y= precio_aguacate_kg )) +
  geom_point()+ 
  geom_hline(yintercept = mean(hass_dolar$precio_aguacate_kg))+
  geom_segment(aes(xend=precio_dolar, yend=mean(precio_aguacate_kg)),
               col='red', lty='dashed')+
  theme_light()

1.7 Construyendo un modelo lineal simple con los datos

Este es el momento de comenzar a usar la información extra con la que contamos, esto es, el precio del dólar, el cual se convertirá en una variable predictora del precio del aguacate. En estadística no hay una única forma de hacer esto, pero lo usual es partir de especificaciones muy sencillas. Veamos:

Sea \(Y\) el precio del aguacate y sea \(X\) el precio del dólar. Investiguemos si este modelo sencillo nos funciona:

\[y = \beta_{0} + \beta_{1} * x + e \text{ con } e \text{~}N(0, \sigma^2)\]

1.8 Algunas observaciones sobre las fortalezas y limitaciones del modelo

Expliquemos qué implica la ecuación anterior haciendo ciertas anotaciones de gran relevancia práctica para entender cómo los estadísticos piensan al momento de plantear modelos:

Observación genial 1:

Para un x fijo, es decir un x dado, es posible calcular el valor de \(y\) con el modelo anterior, donde tácitamente estamos diciendo que el valor de \(y\) dependerá de \(x\) en forma exacta, excepto por una perturbación aleatoria \(e\) que representará la parte del valor de \(y\) que no puede ser capturada por el término \(\beta_{0} + \beta_{1} * x\).

¿Cuándo sucederá que el valor de \(y\) pueda ser exactamente capturado por el término \(\beta_{0} + \beta_{1} * x\)? Cuando \(y\) dependa en forma lineal exacta del valor de \(x\). Esta es una condición demasiado fuerte que rara vez ocurre en la práctica, por eso agregamos la perturbación \(e\) como una forma de modelar la incertidumbre en la determinación de \(y\) dado un valor de \(x\). Esto no soluciona todos los problemas pero ayuda a obtener un modelo relativamente más realista.

¿Cuáles son los riesgos que implica asumir a priori un comportamiento específico para el error?

Observación genial 2:

La perturbación \(e\) puede recibir varios nombres en estadística, la encontrarás nombrada como: perturbación, choque, error, o residual. Lo importante no es el nombre que reciba, sino las condiciones que vamos a suponer sobre sus valores.

En particular no vamos a exigir que \(e\) tenga valores predecibles, muy al contrario vamos a exigir que sea un valor aleatorio, precisamente porque está modelando incertidumbre. Pero esto no implica que no podamos poner ciertas condiciones sobre el tipo de aleatoriedad deseada para \(e\). En este caso supondremos que \(e\) se distribuye como una variable aleatoria normal con media \(\mu=0\) y desviación estándar \(\sigma\). Conviene aclarar que esto es una suposición, no implica que efectivamente los errores vayan a cumplir tal supuesto.

Observación genial 3:

¿Por qué suponemos normalidad para \(e\)? Porque si \(e\) es en efecto una especie de componente incierto en el valor de \(y\), entonces muy seguramente será la suma de muchos efectos independientes que lo están provocando. En nuestro contexto estos efectos inciertos pueden ser:

• \(F_1\): Cambios en la productividad de los cultivos.
• \(F_2\): Condiciones climatológicas.
• \(F_3\): Precios de los insumos agrícolas.
• \(F_4\): Capacidad de negociación de los productores.
• \(F_5\): Presencia o no de subsidios estatales.
• \(F_6\): Precios de productos complementarios o sustitutos.

…

• \(F_k\): precio de la gasolina.

Y un gran etcétera.

Es decir, existen innumerables factores, distintos al precio del dólar que impiden que el precio del aguacate pueda ser determinado de forma exacta sólo por observar el valor del dólar. En estadística se ha estudiado que cuando no estamos midiendo los demás factores que afectan el valor de una variable, y dejamos que estos contribuyan de forma desacoplada e independiente a dicho valor, el efecto general \(e\) que resume el efecto global de todos los factores a la vez, suele comportarse bajo la distribución normal sencillamente porque hay un teorema en matemáticas, conocido como el Teorema del Límite Central que básicamente así lo garantiza, al postular que: la suma de \(k\) efectos aleatorios independientes tiende a adoptar el comportamiento normal conforme la cantidad k de efectos crece.

Es importante destacar que el Teorema del Límite Central tiene algunas condiciones y suposiciones, como la independencia de las variables aleatorias y que la suma debe efectuarse sobre una cantidad \(k\) de ellas suficientemente grande. Éste es uno de los conceptos fundamentales en estadística y es ampliamente utilizado en la teoría y la práctica de esta disciplina.

Observación para nada genial 4 😥😢:

Excepto por el componente aleatorio \(e\), el modelo restringe la relación de \(Y\) y \(X\) al universo de relaciones lineales. Existirá una posible relación por cada par de valores \(\beta_0\) y \(\beta_1\) que decidamos elegir. Pero por más que nos esforcemos en modificarlos siempre conducirán a relaciones representadas por líneas rectas, de ahí que el modelo asuma el nombre de regresión lineal.

Si queremos capturar otras posibles dependencias de \(Y\) respecto a \(X\) podemos generalizar la relación usando \(y = f(x) + e\) donde \(f(x)\) puede ser una nueva especificación funcional con otra estructura deseada, por ejemplo un polinomio o cualquier otra función que querramos definir. Lo importante es que detrás de la definición de \(f(x)\) haya alguna justificación producto de haber analizado los datos en búsqueda de relaciones que capturen bien la dependencia.

Observación genial final:

Son los datos observados para cada valor de \(y\) y \(x\) los que nos deben informar sobre el par de valores \(\beta_0\) y \(\beta_1\) que crean la relación lineal que mejor representa nuestra nube de puntos, pero de nada sirven los valores observados si no definimos una métrica que nos informe sobre la calidad del ajuste.

1.9 Introducción a las medidas de ajuste para modelos no ingenuos

De la observación final del apartado anterior nos queda una inquietud: ¿Cómo decidimos el par de valores a asignar a los parámetros del modelo lineal si no tenemos un criterio para poder saber cuál es el mejor modelo?

Para salir de este embrollo, reconozcamos que nunca en un problema real sujeto a incertidumbre una recta pasará exactamente por todos los puntos, razón por la cual aparecerán componentes de error \(e_i\) por cada \(y_i\) y \(x_i\) observado. Vimos que esto ocurrión con el modelo ingenuo y por supuesto ocurre también para un modelo no ingenuo. La idea es entonces reducir la magnitud de estos errores al mínimo posible y el par de valores \(\beta_1\) y \(\beta_2\) que así lo logren será nuestra elección óptima de cara al objetivo de minimización del error.

Otro criterio de ajuste que se podría usar es el de maximizar la probabilidad de ocurrencia de los valores observados bajo el supuesto de que el modelo usa valores \(\beta_0\) y \(\beta_1\) previamente especificados. De esta manera si un par de valores hace menos probable haber obtenido nuestros datos observados deberán descartarse.

¿Pero cómo podemos medir la probabilidad de ocurrencia de nuestros datos observados una vez damos valores específicos para los betas? Esta es una cuestión que se tratará más adelante cuando discutamos los métodos de estimación de parámetros, nombre con el que se conoce al procedimiento estadístico encaminado a elegir los mejores betas para un conjunto de datos observados.

Por lo pronto vamos a proceder de manera más intuitiva, dejando de lado el formalismo matemático, y vamos a ejemplificar un posible modelo ajustado usando valores \(\beta_0=700\) y \(\beta_1 = 1.2\). Hemos elegido estos valores por simple inspección visual así que no esperamos que sean óptimos en ningún sentido, veamos:

# Calculamos las predicciones de "y" usando el modelo
b0 = 700
b1 = 1.2
x= hass_dolar$precio_dolar
y_pred = b0 + b1*x

hass_dolar %>% 
  ggplot(aes(x= precio_dolar, y= precio_aguacate_kg ))+
  geom_point() +
  geom_line( aes( x= x, y = y_pred), col = "red")

Aunque no estamos seguros de la optimalidad de los betas elegidos, el ajuste basado en este modelo es a simple vista decente, pero no deberíamos depender de esto. Es necesario usar las herramientas que R nos ofrece para estimar los betas. Antes de pasar a su uso ciego, revisemos en qué consideraciones estadísticas se basan estos métodos. Para ello definamos primero los errores cometidos por el modelo, y más aún, la medida de desempeño que usaremos para decidir cuál es la mejor elección de los betas. Usaremos entonces la métrica MSE(Mean Squared Errors) dada por:

\[MSE_{\text{NO ingenuo}} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}e_i²\]

Por otro lado podemos decir que \(e_i = y_i - \hat{y}\), donde la cantidad \(\hat{y}\) representa el valor de la variable \(Y\) que arroja el modelo, el cual es por regla general diferente al verdadero valor observado de \(Y\), es decir, los errores son las diferencia de lo observado \(y_i\) y lo predicho por el modelo basado en la recta \(\hat{y}\), por lo tanto:

\[MSE_{\text{NO ingenuo}} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y_i - \hat{y})²\]

Y más específicamente:

\[MSE_{\text{NO ingenuo}} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y_i - (\beta_0 + \beta_1*x_i))²\] \[MSE_{\text{NO ingenuo}} = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y_i - \beta_0 - \beta_1*x_i)²\]

Con esta expresión ya se hace patente que \(MSE_{\text{NO ingenuo}}\) es función de los pares de valores \((x_i, y_i)\) a los que se debe ajustar la recta, así como de los valores que elijamos para los betas.

Sin embargo, como los pares \((x_i, y_i)\) ya vienen dados por nuestra base de datos o, hablando en términos más generales, por la información recaudada para la construcción del modelo, sólo tendremos opción de variar los betas en aras de minimizar la cantidad \(MSE_{\text{NO ingenuo}}\). Dicho de otra manera los pares de valores \((x_i, y_i)\) se comportan como constantes a lo largo de mi proceso de minimización.

Dado lo anterior, es buena idea definir una función MSE en R que permita calcular, para diferentes elecciones de los betas, la medida de desempeño. Esta medida de desempeño es conocida también en la literatura como función de pérdida, queriendo indicar con ello una pérdida de ajuste del modelo a los datos. Es importante aclarar que no existe una única elección para la función de pérdida de un modelo predictivo, otras alternativas típicas son la mediana de las desviaciones absolutas (MEDA), la media de los errores absolutos (MAE), entre otros. Sin embargo en regresión lineal es usual usar MSE porque su expresión como cuadrado de errores permite usar teoría de inferencia basada en la distribución F cuando los errores se asumen normales. Veremos esto más a detalle cuando discutamos pruebas de hipótesis sobre el modelo de regresión.

1.10 Una relación importante entre los betas del modelo lineal

Retomando nuestro modelo original

\[y = \beta_{0} + \beta_{1} * x + e \text{ con } e \text{~}N(0, \sigma^2)\]

Tomando valor esperado en ambos lados de la ecuación tenemos que:

\[E(y) = E(\beta_{0} + \beta_{1} * x + e)\] Pero como \(\beta_0\) y \(\beta_1\) son constantes, tenemos que:

\[E(y) = E(\beta_0) + E(\beta_1*x) + E(e)\] Así que:

\[E(y) = \beta_0 +\int_{-\infty}^{\infty}\beta_1 *xf(x)dx + E(e)\] \[E(y) = \beta_0 + \beta_1*\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx + E(e)\] Y como \(\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\) es por definición \(E(x)\) y además \(E(e) = 0\) por diseño (de acuerdo con el supuesto usado para la distribución del error), entonces:

\[E(y) = \beta_0 + \beta_1*E(x)\] Dicho de otra manera, la recta del modelo debe pasar por el punto \((E(x), E(y))\) !!

La recta debe pasar por el centroide de la nube de puntos.

Ciertamente no conocemos el valor esperado ni de la variable predictora X ni de la variable respuesta Y, pero buenos estimados basados en información muestral serían \(\bar{x}\) y \(\bar{y}\). Es decir, no podremos saber con precisión los valores \(\beta_0\) y \(\beta_1\), pero nos podemos conformar con buenas estimaciones que cumplan la condición:

\[\bar{y} = \color{red}{\widetilde\beta_0} + \color{red}{\widetilde\beta_1}\bar{x}\]

El coloreado y la tilde ancha para los betas pretenden enfatizar que estos valores son estimados de los correspondientes \(\beta_0\) Y \(\beta_1\) del modelo teórico subyacente. En conclusión: la mejor recta estimada deberá pasar por \((\bar{x}, \bar{y})\), y por lo tanto hay una relación atando a los betas estimados:

\[\begin{equation} \label{eq:ec0} \color{red}{\widetilde\beta_0} = \bar{y} - \color{red}{\widetilde\beta_1}\bar{x} \end{equation} \] Es decir que dando valores a \(\color{red}{\widetilde\beta_1}\) podremos obtener valores para \(\color{red}{\widetilde\beta_0}\) y en últimas dibujar diversas rectas en el plano, con el fin de establecer cuál de ellas minimiza el \(MSE_{\text{NO ingenuo}}\).

1.11 Una animación que ilustra la estimación de betas

A continuación presentamos un código en R que permite comprender cómo funcionan numéricamente los métodos de estimación de betas para un modelo lineal simple, específicamente cuando se usa como método de estimación el criterio de minimización del promedio de los cuadrados de los errores:

# Extraemos las variables de interés
x = hass_dolar$precio_dolar
y = hass_dolar$precio_aguacate_kg

# Calculamos medias muestrales para las variables X y Y

x_barra <- mean(x)
y_barra <- mean(y)

# Definimos posibles valores para b1, y por consiguiente para b0
b1_values <- seq(-1, 3, by = 0.08)
b0_values <- y_barra - b1_values * x_barra

# Fijamos límites en X y Y para cada gráfico
xmin = min(x) - 50
xmax = max(x) + 50
ymin = min(y) - 50
ymax = max(y) + 50

# Construimos una función para calcular el MSE en función de x_i, y_i, b1 y b0
MSE <- function(x, y, b0, b1) {
  errors <- y - (b0 + b1*x)
  squared_errors <- errors^2
  mse <- mean(squared_errors)
  return(mse)
}

# Crear un dataframe para almacenar los resultados
list_mse <- vector()

# Calcular el MSE para diferentes valores de B1
for (i in 1:length(b1_values)) {
  mse <- MSE(x, y, b0_values[i], b1_values[i])
  list_mse[i] <- mse
}

mse_df = data.frame(
  B0 = b0_values,
  B1 = b1_values,
  mse = list_mse,
  color_point = 'green'
)

# Capturando el renglón donde ocurre el mínimo mse
pos_min <- which(mse_df$mse==min(mse_df$mse))

# Impriendo las filas cercanas al mínimo
mse_df$color_point[(pos_min - 4):(pos_min + 4)] <- rep('red',9)
ftable(mse_df[(pos_min - 8):(pos_min + 8), ])

¿Qué hemos logrado hasta acá?

• Demostrar que el valor de \(MSE_{\text{NO ingenuo}}\) depende de los betas elegidos para el modelo.
• Demostrar cómo el valor de \(\color{red}{\widetilde\beta_0}\) está atado con el de \(\color{red}{\widetilde\beta_1}\) si de verdad queremos que la recta estimada respete la condición de que \(e \text{~}N(0, \sigma^2)\) y por lo tanto de que \(E(e)=0\).
• Generar un dataframe que calcula los valores de \(MSE_{\text{NO ingenuo}}\) para cada par de valores elegidos para \(\color{red}{\widetilde\beta_0}\) y \(\color{red}{\widetilde\beta_1}\), dando valores a \(\color{red}{\widetilde\beta_1}\)
• Estimamos que el \(\color{red}{\widetilde\beta_1}\) óptimo está cerca del valor 0.94, y que el \(\color{red}{\widetilde\beta_0}\) óptimo está cerca del valor 1452.

Ahora graficaremos una curva que muestre esta relación:

if (!file.exists("beta_vs_mse.gif")){
  # Crear la animación
  animation <- ggplot(mse_df, aes(B1, mse)) +
    geom_line(aes( x= B1, y = mse, color = color_point), linetype = "dashed") +
    geom_point(aes(color = color_point), size = 3) +
    labs(title = "Valores de MSE para cada posible B1, respetando E(e) = 0") +
    geom_text(data = mse_df, 
              aes(label = paste("MSE: ", round(mse,0))), x= 1, y = 2e6, color='black'
    ) +
    geom_text(data = mse_df, 
              aes(label = paste("MSE mínimo: ", round(min(mse),0))),
              x= 1, y = min(mse_df$mse) - 1e5, color='red') +
    scale_color_manual(values = c("red" = "red", "green" = "green"),
                       labels = c("Subóptima", "Óptima"),
                       name = "Soluciones") +
    theme_minimal() +
    transition_reveal(B1)

  animate(animation, duration = 10, fps = 2, renderer = gifski_renderer())
  anim_save("beta_vs_mse.gif")
}

Ahora veamos el efecto que tiene la elección de los betas en la recta regresora, e incluyamos pausas en la animación para detenernos en el momento en que encontremos la recta óptima.

if (!file.exists("beta_estimation.gif")){
  
# Las pausas en la animación son fotogramas con información repetida correspondiente
# al renglón óptimo

fotogramas_pausa <- data.frame(
  B0 = rep(b0_values[pos_min], 2*nrow(mse_df)),
  B1 = rep(b1_values[pos_min], 2*nrow(mse_df)),
  mse = rep(list_mse[pos_min], 2*nrow(mse_df)),
  color_point = rep('red',2*nrow(mse_df))  
)

mse_df <- rbind(mse_df, fotogramas_pausa)
mse_df <- mse_df[order(mse_df$B1), ]
mse_df$estado <- seq(1,nrow(mse_df))

# Construimos el dataframe de predicciones para cada estado, con el cual poder
# graficar los residuales en cada fotograma

df_predicciones <- data.frame(B0_pred=numeric(0),
                              B1_pred=numeric(0),
                              x_from_pred=numeric(0),
                              y_from_pred=numeric(0),
                              y_pred_mod=numeric(0),
                              estado = numeric(0))
for (i in 1:nrow(mse_df)){
  df_nuevo <-data.frame(
    BO_pred = rep(mse_df[i, 'B0'], length(x)),
    B1_pred = rep(mse_df[i, 'B1'], length(x)),
    x_from_pred = x,
    y_from_pred = y,
    y_pred_mod = mse_df[i, 'B0'] + mse_df[i,'B1']*x,
    estado = rep(mse_df[i, 'estado'], length(x))
  ) 
  df_predicciones <- rbind(df_predicciones, df_nuevo)
}

# Creamos el gráfico base

base_plot <- ggplot(data.frame(x = x, y = y), aes(x = x, y = y)) +
  geom_point() +
  geom_point(x=mean(x), y=mean(y), color='green', size=2.5) +
  geom_abline(aes(slope = 0, intercept = y_barra), 
              linetype = "dashed", color = "blue") +
  labs(title = "Estimación de Betas por Minimización del MSE") +
  theme_minimal()

# Creamos la animación

animation <- base_plot +
  geom_abline(aes(slope = B1, intercept = B0, color = color_point), data=mse_df) +
  geom_text(aes(label = paste("MSE: ", round(mse,0))), x= 2000, y = 6000, data=mse_df,
            color = "red")+
  geom_segment(data = df_predicciones,
               aes(x=x_from_pred, y=y_from_pred, xend=x_from_pred, yend=y_pred_mod),
               col = "violet", lty='dashed') +
  transition_states(estado, transition_length = 2, state_length = 1) +
  scale_color_manual(values = c("red" = "red", "green" = "green"),
                     labels = c("Subóptima", "Óptima"),
                     name = "Rectas regresoras") +
  enter_fade() +
  exit_fade()

# Guardamos la animación en un archivo GIF
animate(animation, duration = 20, fps = 2, renderer = gifski_renderer())
anim_save("beta_estimation.gif", animation)
}

1.12 Usando funciones en R para estimar parámetros

Finalmente hemos llegado al punto en que usaremos las funciones de R para estimar parámetros del modelo de regresión lineal. Esto se hará bajo el enfoque de optimización, para ello conviene darle una mirada al siguiente problema:

Estime un par de valores \((\widetilde\beta_0,\widetilde\beta_1)\) tal que minimice la expresión \(MSE = f(\beta_0,\beta_1)\), donde:

\[f(\beta_0,\beta_1) = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y_i - \beta_0 - \beta_1*x_i)²\] Tomando en cuenta que no hay restricciones aplicadas a los betas.

Para resolver el problema primero efectuemos algunas simplificaciones tomando partida de la siguiente identidad algebraica: \((a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc\), de tal manera que:

\[f(\beta_0,\beta_1) = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(y_i²+\beta_0²+\beta_1²x_i²-2y_i\beta_0-2y_i\beta_1x_i+2\beta_0\beta_1x_i)\]

Ahora distribuyamos la suma y separemos aparte los términos que dependen de su índice:

\[f(\beta_0,\beta_1) = \frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}y_i²+\beta_0²\sum^{n}_{i=1}1+\beta_1²\sum^{n}_{i=1}x_i²-2\beta_0\sum^{n}_{i=1}y_i-2\beta_1\sum^{n}_{i=1}y_ix_i+2\beta_0\beta_1\sum^{n}_{i=1}x_i\right]\] Simplificando términos y distribuyendo la fracción:

\[f(\beta_0,\beta_1) = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}y_i²+\frac{\beta_0²}{n}n+\frac{\beta_1²}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i²-\frac{2\beta_0}{n}\sum^{n}_{i=1}y_i-\frac{2\beta_1}{n}\sum^{n}_{i=1}y_ix_i+\frac{2\beta_0\beta_1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_i\] Para finalmente obtener:

\[f(\beta_0,\beta_1) = \beta_0² +\bar{x²}\beta_1² -2\bar{y}\beta_0-\left[\frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i\right]\beta_1+2\bar{x}\beta_0\beta_1+\bar{y²} \] En la expresión anterior, las cantidades \(\bar{x²}\), \(-2\bar{y}\), \(-\frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i\), \(2\bar{x}\), \(\bar{y²}\) son todas constantes por depender sólo de los datos que alimentan al modelo, en ese sentido son coeficientes numéricos para los respectivos betas de la función.

LLegados a este punto, podemos sacar las siguientes conclusiones:

• La función \(f\) sólo depende de los betas, puesto que los demás valores son constantes, es decir los valores \((x_i, y_i)\) son números consignados en una base de datos, y \(n\) es la cantidad de pares de números consignados. Todos los coeficientes dependerán de operaciones sobre estos números.

• De acuerdo con lo anterior la función \(f\) es una función multivariada, pues depende de dos variables: \(\beta_0\) y \(\beta_1\).

• Existen métodos muy sencillos para resolver un problema de optimización no restringido cuando la función a optimizar es convexa, entonces sólo nos resta demostrar que la función anterior lo es.

Definición de convexidad

Para demostrar que \(f(\beta_0, \beta_1)\) es convexa, debemos verificar que su matriz hessiana sea semidefinida positiva. La matriz hessiana es una matriz de segundas derivadas parciales de la función.

Primero, calculemos las derivadas parciales de \(f\) con respecto a \(\beta_0\) y \(\beta_1\):

\[\begin{equation} \label{eq:ec1} \frac{\partial f}{\partial \beta_0} = 2\beta_0-2\bar{y}+2\bar{x}\beta_1 \end{equation} \] \[\begin{equation} \label{eq:ec2} \frac{\partial f}{\partial \beta_1} = 2\bar{x²}\beta_1-\frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i+2\bar{x}\beta_0 \end{equation} \] Luego, calculemos las segundas derivadas parciales de \(f\) con respecto a \(\beta_0\) y \(\beta_1\):

\[\frac{\partial^2 f}{\partial \beta_0^2} = 2 > 0\] \[\frac{\partial^2 f}{\partial \beta_1^2} = 2\bar{x^2} > 0\] \[\frac{\partial^2 f}{\partial \beta_0 \partial \beta_1} = 2\bar{x}\]

La matriz hessiana de \(f\) es:

\[ H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial \beta_0^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial \beta_0 \partial \beta_1} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial \beta_0 \partial \beta_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial \beta_1^2} \end{bmatrix} \]

Por lo tanto:

\[ H(f) = \begin{bmatrix} 2 & 2\bar{x}\\ 2\bar{x} & 2\bar{x^2} \end{bmatrix} \]

Para que \(f(\beta_0, \beta_1)\) sea convexa, la matriz hessiana debe ser semidefinida positiva, lo que significa que debe cumplir la propiedad: \[v^ \top Hv>=0 \text{ para }\forall v \in \mathbb{R}² \] Es decir, debemos verificar si:

\[\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}H\begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}>=0 \text{ para } \forall (a,b) \]

Veamos si esto se cumple:

\[ \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2\bar{x} \\ 2\bar{x} & 2\bar{x^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix} 2a+2b\bar{x} & 2a\bar{x} + 2b\bar{x²} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}\\=2a²+2ab\bar{x}+2ab\bar{x}+2b²\bar{x²} \\=2a²+4ab\bar{x}+2b²\bar{x²}\\ =2(a²+2ab\bar{x}+b²(\bar{x})²)-2b^2(\bar{x})²+2b²\bar{x²}\\ =2(a+b\bar{x})²+2b²(\bar{x²}-(\bar{x})²) \]

Acá es interesante notar que:

\[\bar{x²}-(\bar{x})²=\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}x_i²\right]-\bar{x}\bar{x} =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}x_i²-\bar{x}(n\bar{x})\right]\\ =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}x_i²-\bar{x}\sum^{n}_{i=1}x_i\right] =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}(x_i²-\bar{x}x_i)\right] \\ =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}((x_i²-2\bar{x}x_i)+\bar{x}x_i)\right] =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}\left((x_i²-2\bar{x}x_i+\bar{x}²)+(\bar{x}x_i-\bar{x}²)\right)\right]\\ =\frac{1}{n}\left[\sum^{n}_{i=1}\left((x_i-\bar{x})²+\bar{x}(x_i-\bar{x})\right)\right] =\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\bar{x})²+\bar{x}\left[\sum^{n}_{i=1}\frac{x_i}{n}-\sum^{n}_{i=1}\frac{\bar{x}}{n}\right]\\ =\sigma²_{x}+\bar{x}\left(\bar{x}-\bar{x}\sum^{n}_{i=1}\frac{1}{n}\right)\\ =\sigma²_{x}+\bar{x}(\bar{x}-\bar{x}*1)=\sigma²_{x}\]

Obteniendo finalmente

\[\begin{equation} \label{eq:sigma_x} \bar{x²}-(\bar{x})² = \sigma²_{x} \end{equation} \]

Luego:

\[v^ \top Hv = 2(a+b\bar{x})²+2b²\sigma²_{x} \text{ con } \text{ }v=(a,b)\] Y como ambos sumandos son no negativos se tiene que \[v^ \top Hv >= 0 \text{ para }\forall v\in \mathbb{R}²\] Es decir, la matriz hessiana es semidefinida positiva y por lo tanto \(f(\beta_0,\beta_1)\) es convexa en el espacio de parámetros \(\beta_0\) y \(\beta_1\). Esto implica que el problema de regresión lineal, que busca minimizar esta función de errores, tiene un mínimo global y puede ser resuelto de manera eficiente mediante métodos de optimización convexa.

Una condición necesaria y suficiente para que \((\widetilde\beta_0,\widetilde\beta_1)\) sea un mínimo global es que \(\nabla{} f(\widetilde\beta_0,\widetilde\beta_1)=0\)

Por lo tanto retomando \(\ref{eq:ec1}\) y \(\ref{eq:ec2}\) el problema de minimización queda resuelto hallando la solución al sistema de ecuaciones:

\[\begin{equation} \label{eq:ec3} 2\widetilde\beta_0-2\bar{y}+2\bar{x}\widetilde\beta_1=0 \end{equation} \] \[\begin{equation} \label{eq:ec4} 2\bar{x²}\widetilde\beta_1-\frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i+2\bar{x}\widetilde\beta_0=0 \end{equation} \]

De modo que despejando \(\widetilde\beta_0\) en \(\ref{eq:ec3}\) tenemos lo siguiente:

\[\begin{equation} \label{eq:ec5} \widetilde\beta_0 = \bar{y} - \widetilde\beta_1\bar{x} \end{equation} \] Esto en concordancia con \(\ref{eq:ec0}\), y además haciendo reemplazos en \(\ref{eq:ec4}\) obtenemos:

\[ 2\bar{x²}\widetilde\beta_1-\frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i+2\bar{x}(\bar{y}-\widetilde\beta_1\bar{x})=0\\ 2\bar{x²}\widetilde\beta_1-2\bar{x}²\widetilde\beta_1 = \frac{2}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i-2\bar{x}\bar{y}\\ (\bar{x²} - \bar{x}²)\widetilde\beta_1 = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}x_iy_i-\bar{x}\bar{y} \] Ahora, usando el hecho de que el lado derecho de la ecuación anterior es por definición \(cov(x,y)\), es decir, la covarianza entre la variable regresora \(x\) y la variable respuesta \(y\), así como la expresión dada en \(\ref{eq:sigma_x}\) tenemos:

\[\begin{equation} \label{eq:ec6} \widetilde\beta_1 = \frac{cov(x,y)}{\sigma_x²} \end{equation} \] Las ecuaciones \(\ref{eq:ec5}\) y \(\ref{eq:ec6}\) son muy informativas en su estructura, la primera indica que la recta regresora debe pasar por el centroide de la nube de puntos: \((\bar{x}, \bar{y})\) y la segunda indica que la pendiente de la recta es proporcional al grado de relación lineal que tenga la variable \(x\) con la variable \(y\) medida a través de la covarianza.

Estos sencillos cálculos son realizados por R a través de la función “lm”, así:

# b1 = cov(x,y) / (sigma_x)²
b1 <- cov(x,y) / var(x)
print(b1)

## [1] 0.9449775

# bo = y_barra - b1*x_barra
b0 <- mean(y) - b1*mean(x)
print(b0)

## [1] 1436.679

residuales <- y - (b0 + b1*x)
n <- length(x)

sigma_2 <- sum(residuales^2)/(n-2)
print(sigma_2)

## [1] 288485.9

# Confirmamos usando la función lm, a continuación la documentación

# lm(formula, data, subset, weights, na.action,
#    method = "qr", model = TRUE, x = FALSE, y = FALSE, qr = TRUE,
#    singular.ok = TRUE, contrasts = NULL, offset, ...)

mod1 <- hass_dolar %>% lm(precio_aguacate_kg ~ precio_dolar,.)
print(mod1$coefficients)

##  (Intercept) precio_dolar 
## 1436.6790256    0.9449775

resumen <-  summary(mod1)
resumen$sigma

## [1] 537.1089

parametros <- data.frame(metodo = c("manual","lm"), 
                         beta_0 = c(b0,mod1$coefficients[1]),
                         beta_1 = c(b1,mod1$coefficients[2]),
                         sigma_2 = c(sigma_2, (resumen$sigma)^2))



parametros %>% 
  ftable()

#print(mod1$)
# Generando el modelo con R Base sería así:
# mod1 <- lm(promedio_aguacate_kg ~ promedio_dolar, hass_dolar)

Podemos notar entonces que ambos métodos son consistentes entre si, algo que no es de extrañar pues internamente R implementa estos métodos en sus librerías.

5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LOS BETAS DEL MODELO

Variable aleatoria: Una variable aleatoria X es una función de \[ f : \Omega \rightarrow \mathbb{R}\] con \(\Omega\) el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. En otras palabras un mapeo desde el espacio de descripciones muestrales a los números reales con el fin de asociar a los resultados del experimento un valor numérico con el cual habilitar operaciones matemáticas.

[Proceso estocástico]{style = “color: red;”}: Sea \(\mathcal{T}\) un conjunto arbitrario. Un proceso estocástico es una familia \(\{X(t), \text{ t} \in \tau \}\), tal que, para cada \(t \in \mathcal{T}, X(t)\) es una variable aleatoria. Es decir, es una secuencia de variables aleatorias ordenadas por un índice, típicamente tomado del conjunto de los números enteros, o del conjunto de los números reales.

[Proceso estocástico en tiempo discreto]{style = “color: red;}: Es un proceso estocástico con un índice temporal discreto. Significando que \(\tau \in \mathbb{Z}\)

[Especificación de un proceso estocástico]{style = “color: red;”}: Sea \(t_1, t_2, t_3,...,t_n\) elementos cualquiera de \(\mathcal{T}\) y consideremos

\[F(x_1, x_2, x_3, ..., x_n; t_1, t_2, t_3, ..., t_n)=P\{X(t_1)<=x_1, ..., X(t_n)<=x_n\}\] [Definición de un proceso estocástico estacionario]{style = “color: red;”}: Un proceso estocástico \(\{X(t), \text{ t} \in \mathcal{T} \}\) se dice estrictamente estacionario si todas las distribuciones finito dimensionales tal como se definen en la ecuación anterior permanecen siendo las mismas sobre traslaciones en el tiempo, es decir:

\[F(x_1, x_2, x_3, ..., x_n; t_1+\tau, t_2+\tau, t_3+\tau, ..., t_n+\tau)=F(x_1, x_2, x_3, ..., x_n; t_1, t_2, t_3, ..., t_n)\] Algunas consecuencias de lo anterior son:

• \(E\{X(t)\} = \mu(t) = \mu\)
• \(Var\{X(t)\} = \sigma²(t) = \sigma²\)
• \(\gamma(t_1, t_2) = \gamma(t_1-t_2, 0) = Cov\{X(t_1-t_2), X(0)\}\) o equivalentemente \(\gamma{\tau} = Cov\{X(t), X(t+\tau)\} = Cov\{X(0), X(\tau)\}\) para t, \(\tau \in \mathcal{T}\)

Reflexiones en lenguaje informal:

• Un proceso estocástico quedará suficientemente definido si definimos la distribución de probabilidad n-dimensional conjunta para cada \(n>=1\), es decir, tomando \(n\) variables del proceso estocástico a la vez, sería necesario especificar la relación estadística de esas n variables a la vez para cada eleción de n. En nuestro contexto implica especificar cómo se espera que el precio de hoy se relacione con el precio de ayer, o cómo se espera que el precio de hoy se relacione con el de ayer y además con el de antier. Y así sucesivamente para cualquier grupo finito de precios que decida tomar a consideración.

• Un proceso estocástico estacionario se puede interpretar como aquel cuyas propiedades estadísticas permanencen constantes a lo largo del tiempo y sólo cambiaran en función del grupo de \(n\) variables que decida obervar conjuntamente, pero no de la posición de esas n variables en el tiempo. Por ejemplo, suponiendo que n=1, esto implicaría que las propiedades estadísticas de cada variable tomada individualmente no se van alteradas conforme el tiempo avance, en particular cada variable será estable en media y en varianza. Lo que significa que puedo reunir las observaciones individuales en cada momento en el tiempo para estimar la media constante y la varianza de toda la secuencia, en la media en que en cada punto temporal estoy asumiendo que la media y la varianza es igual. Esto siempre se cumplirá? Por supuesto que no, es una suposición que imponemos a los datos para poder hacer inferencia con un único set de valores históricos observados.

• Si la condición de estacionariedad estricta falla no hay nada que se pueda hacer en el estado actual del avance de la ciencia estadística.🤔 La única alternativa es relajar un poco las condiciones para exigencia de estacionariedad, cómo por ejemplo exigir estacionariedad débil consistente en pedir sólo homogeneidad en media, en varianza y en covarianza de segundo orden a la serie de tiempo bajo estudio. Exigir estacionariedad estricta es algo muy complicado de garantizar en la naturaleza.

• Además es más fácil diseñar pruebas de estacionariedad débil.

Apliquemos una para la serie de tiempo de residuales

# Prueba de Dickey-FUller Aumentada
resultado_adf <- adf.test(mod1$residuals)
print(resultado_adf)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  mod1$residuals
## Dickey-Fuller = -3.6959, Lag order = 5, p-value = 0.02729
## alternative hypothesis: stationary

# Prueba de White
resultado_white <- bptest(mod1)
# Muestra el resultado de la prueba
print(resultado_white)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  mod1
## BP = 1.741, df = 1, p-value = 0.187

En este caso debemos interpretar valores p<0.05 de la prueba de Dickey como un apoyo a la hipótesis alternativa de estacionariedad. Es decir, podemos considerar los residuales del modelo como estacionarios, porque un modelo autoregresivo con 5 rezagos no logró encontrar evidencia estadística de autocorrelaciones del error conducentes a no estacionariedad.

Por otro lado, podemos interpretar valores p<0.05 de la prueba de White como un apoyo a la hipótesis de homocedasticidad, es decir, podemos considerar los residuales del modelo como constantes en varianza a lo largo del tiempo.

Creación de la columna de predicción

En este chunk trabajamos con el modo de escritura Tidyverse, aunque se muestra cómo sería con R base.

#hass_dolar$predicciones <- predict(mod1)

hass_dolar <- hass_dolar %>% 
  mutate(predicciones = predict(mod1))

hass_dolar %>% 
  ggplot(aes(x = precio_dolar, y = precio_aguacate_kg)) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color="lightblue") +
  geom_segment(aes(xend=precio_dolar, yend=predicciones),
               col='red', lty='dashed') +
  geom_point() +
  geom_point(aes(y=predicciones), col='red') +
  theme_light()

#Con R Base
# ggplot(datos, aes(x=Edad, y=Resistencia)) +
#   geom_smooth(method="lm", se=FALSE, color="lightgrey") +
#   geom_segment(aes(xend=Edad, yend=predicciones), col='red', lty='dashed') +
#   geom_point() +
#   geom_point(aes(y=predicciones), col='red') +
#   theme_light()

Por máxima verosimilitud.

Por mínimos cuadrados.

n <- 1000

vector_x <- c(1: n ) 
sigma <- 4 
beta_0 <- 2
beta_1 <- 0.5

# Esperada de y dado x
E_y_x <- beta_0 + (beta_1 * vector_x )

print(E_y_x)

##    [1]   2.5   3.0   3.5   4.0   4.5   5.0   5.5   6.0   6.5   7.0   7.5   8.0
##   [13]   8.5   9.0   9.5  10.0  10.5  11.0  11.5  12.0  12.5  13.0  13.5  14.0
##   [25]  14.5  15.0  15.5  16.0  16.5  17.0  17.5  18.0  18.5  19.0  19.5  20.0
##   [37]  20.5  21.0  21.5  22.0  22.5  23.0  23.5  24.0  24.5  25.0  25.5  26.0
##   [49]  26.5  27.0  27.5  28.0  28.5  29.0  29.5  30.0  30.5  31.0  31.5  32.0
##   [61]  32.5  33.0  33.5  34.0  34.5  35.0  35.5  36.0  36.5  37.0  37.5  38.0
##   [73]  38.5  39.0  39.5  40.0  40.5  41.0  41.5  42.0  42.5  43.0  43.5  44.0
##   [85]  44.5  45.0  45.5  46.0  46.5  47.0  47.5  48.0  48.5  49.0  49.5  50.0
##   [97]  50.5  51.0  51.5  52.0  52.5  53.0  53.5  54.0  54.5  55.0  55.5  56.0
##  [109]  56.5  57.0  57.5  58.0  58.5  59.0  59.5  60.0  60.5  61.0  61.5  62.0
##  [121]  62.5  63.0  63.5  64.0  64.5  65.0  65.5  66.0  66.5  67.0  67.5  68.0
##  [133]  68.5  69.0  69.5  70.0  70.5  71.0  71.5  72.0  72.5  73.0  73.5  74.0
##  [145]  74.5  75.0  75.5  76.0  76.5  77.0  77.5  78.0  78.5  79.0  79.5  80.0
##  [157]  80.5  81.0  81.5  82.0  82.5  83.0  83.5  84.0  84.5  85.0  85.5  86.0
##  [169]  86.5  87.0  87.5  88.0  88.5  89.0  89.5  90.0  90.5  91.0  91.5  92.0
##  [181]  92.5  93.0  93.5  94.0  94.5  95.0  95.5  96.0  96.5  97.0  97.5  98.0
##  [193]  98.5  99.0  99.5 100.0 100.5 101.0 101.5 102.0 102.5 103.0 103.5 104.0
##  [205] 104.5 105.0 105.5 106.0 106.5 107.0 107.5 108.0 108.5 109.0 109.5 110.0
##  [217] 110.5 111.0 111.5 112.0 112.5 113.0 113.5 114.0 114.5 115.0 115.5 116.0
##  [229] 116.5 117.0 117.5 118.0 118.5 119.0 119.5 120.0 120.5 121.0 121.5 122.0
##  [241] 122.5 123.0 123.5 124.0 124.5 125.0 125.5 126.0 126.5 127.0 127.5 128.0
##  [253] 128.5 129.0 129.5 130.0 130.5 131.0 131.5 132.0 132.5 133.0 133.5 134.0
##  [265] 134.5 135.0 135.5 136.0 136.5 137.0 137.5 138.0 138.5 139.0 139.5 140.0
##  [277] 140.5 141.0 141.5 142.0 142.5 143.0 143.5 144.0 144.5 145.0 145.5 146.0
##  [289] 146.5 147.0 147.5 148.0 148.5 149.0 149.5 150.0 150.5 151.0 151.5 152.0
##  [301] 152.5 153.0 153.5 154.0 154.5 155.0 155.5 156.0 156.5 157.0 157.5 158.0
##  [313] 158.5 159.0 159.5 160.0 160.5 161.0 161.5 162.0 162.5 163.0 163.5 164.0
##  [325] 164.5 165.0 165.5 166.0 166.5 167.0 167.5 168.0 168.5 169.0 169.5 170.0
##  [337] 170.5 171.0 171.5 172.0 172.5 173.0 173.5 174.0 174.5 175.0 175.5 176.0
##  [349] 176.5 177.0 177.5 178.0 178.5 179.0 179.5 180.0 180.5 181.0 181.5 182.0
##  [361] 182.5 183.0 183.5 184.0 184.5 185.0 185.5 186.0 186.5 187.0 187.5 188.0
##  [373] 188.5 189.0 189.5 190.0 190.5 191.0 191.5 192.0 192.5 193.0 193.5 194.0
##  [385] 194.5 195.0 195.5 196.0 196.5 197.0 197.5 198.0 198.5 199.0 199.5 200.0
##  [397] 200.5 201.0 201.5 202.0 202.5 203.0 203.5 204.0 204.5 205.0 205.5 206.0
##  [409] 206.5 207.0 207.5 208.0 208.5 209.0 209.5 210.0 210.5 211.0 211.5 212.0
##  [421] 212.5 213.0 213.5 214.0 214.5 215.0 215.5 216.0 216.5 217.0 217.5 218.0
##  [433] 218.5 219.0 219.5 220.0 220.5 221.0 221.5 222.0 222.5 223.0 223.5 224.0
##  [445] 224.5 225.0 225.5 226.0 226.5 227.0 227.5 228.0 228.5 229.0 229.5 230.0
##  [457] 230.5 231.0 231.5 232.0 232.5 233.0 233.5 234.0 234.5 235.0 235.5 236.0
##  [469] 236.5 237.0 237.5 238.0 238.5 239.0 239.5 240.0 240.5 241.0 241.5 242.0
##  [481] 242.5 243.0 243.5 244.0 244.5 245.0 245.5 246.0 246.5 247.0 247.5 248.0
##  [493] 248.5 249.0 249.5 250.0 250.5 251.0 251.5 252.0 252.5 253.0 253.5 254.0
##  [505] 254.5 255.0 255.5 256.0 256.5 257.0 257.5 258.0 258.5 259.0 259.5 260.0
##  [517] 260.5 261.0 261.5 262.0 262.5 263.0 263.5 264.0 264.5 265.0 265.5 266.0
##  [529] 266.5 267.0 267.5 268.0 268.5 269.0 269.5 270.0 270.5 271.0 271.5 272.0
##  [541] 272.5 273.0 273.5 274.0 274.5 275.0 275.5 276.0 276.5 277.0 277.5 278.0
##  [553] 278.5 279.0 279.5 280.0 280.5 281.0 281.5 282.0 282.5 283.0 283.5 284.0
##  [565] 284.5 285.0 285.5 286.0 286.5 287.0 287.5 288.0 288.5 289.0 289.5 290.0
##  [577] 290.5 291.0 291.5 292.0 292.5 293.0 293.5 294.0 294.5 295.0 295.5 296.0
##  [589] 296.5 297.0 297.5 298.0 298.5 299.0 299.5 300.0 300.5 301.0 301.5 302.0
##  [601] 302.5 303.0 303.5 304.0 304.5 305.0 305.5 306.0 306.5 307.0 307.5 308.0
##  [613] 308.5 309.0 309.5 310.0 310.5 311.0 311.5 312.0 312.5 313.0 313.5 314.0
##  [625] 314.5 315.0 315.5 316.0 316.5 317.0 317.5 318.0 318.5 319.0 319.5 320.0
##  [637] 320.5 321.0 321.5 322.0 322.5 323.0 323.5 324.0 324.5 325.0 325.5 326.0
##  [649] 326.5 327.0 327.5 328.0 328.5 329.0 329.5 330.0 330.5 331.0 331.5 332.0
##  [661] 332.5 333.0 333.5 334.0 334.5 335.0 335.5 336.0 336.5 337.0 337.5 338.0
##  [673] 338.5 339.0 339.5 340.0 340.5 341.0 341.5 342.0 342.5 343.0 343.5 344.0
##  [685] 344.5 345.0 345.5 346.0 346.5 347.0 347.5 348.0 348.5 349.0 349.5 350.0
##  [697] 350.5 351.0 351.5 352.0 352.5 353.0 353.5 354.0 354.5 355.0 355.5 356.0
##  [709] 356.5 357.0 357.5 358.0 358.5 359.0 359.5 360.0 360.5 361.0 361.5 362.0
##  [721] 362.5 363.0 363.5 364.0 364.5 365.0 365.5 366.0 366.5 367.0 367.5 368.0
##  [733] 368.5 369.0 369.5 370.0 370.5 371.0 371.5 372.0 372.5 373.0 373.5 374.0
##  [745] 374.5 375.0 375.5 376.0 376.5 377.0 377.5 378.0 378.5 379.0 379.5 380.0
##  [757] 380.5 381.0 381.5 382.0 382.5 383.0 383.5 384.0 384.5 385.0 385.5 386.0
##  [769] 386.5 387.0 387.5 388.0 388.5 389.0 389.5 390.0 390.5 391.0 391.5 392.0
##  [781] 392.5 393.0 393.5 394.0 394.5 395.0 395.5 396.0 396.5 397.0 397.5 398.0
##  [793] 398.5 399.0 399.5 400.0 400.5 401.0 401.5 402.0 402.5 403.0 403.5 404.0
##  [805] 404.5 405.0 405.5 406.0 406.5 407.0 407.5 408.0 408.5 409.0 409.5 410.0
##  [817] 410.5 411.0 411.5 412.0 412.5 413.0 413.5 414.0 414.5 415.0 415.5 416.0
##  [829] 416.5 417.0 417.5 418.0 418.5 419.0 419.5 420.0 420.5 421.0 421.5 422.0
##  [841] 422.5 423.0 423.5 424.0 424.5 425.0 425.5 426.0 426.5 427.0 427.5 428.0
##  [853] 428.5 429.0 429.5 430.0 430.5 431.0 431.5 432.0 432.5 433.0 433.5 434.0
##  [865] 434.5 435.0 435.5 436.0 436.5 437.0 437.5 438.0 438.5 439.0 439.5 440.0
##  [877] 440.5 441.0 441.5 442.0 442.5 443.0 443.5 444.0 444.5 445.0 445.5 446.0
##  [889] 446.5 447.0 447.5 448.0 448.5 449.0 449.5 450.0 450.5 451.0 451.5 452.0
##  [901] 452.5 453.0 453.5 454.0 454.5 455.0 455.5 456.0 456.5 457.0 457.5 458.0
##  [913] 458.5 459.0 459.5 460.0 460.5 461.0 461.5 462.0 462.5 463.0 463.5 464.0
##  [925] 464.5 465.0 465.5 466.0 466.5 467.0 467.5 468.0 468.5 469.0 469.5 470.0
##  [937] 470.5 471.0 471.5 472.0 472.5 473.0 473.5 474.0 474.5 475.0 475.5 476.0
##  [949] 476.5 477.0 477.5 478.0 478.5 479.0 479.5 480.0 480.5 481.0 481.5 482.0
##  [961] 482.5 483.0 483.5 484.0 484.5 485.0 485.5 486.0 486.5 487.0 487.5 488.0
##  [973] 488.5 489.0 489.5 490.0 490.5 491.0 491.5 492.0 492.5 493.0 493.5 494.0
##  [985] 494.5 495.0 495.5 496.0 496.5 497.0 497.5 498.0 498.5 499.0 499.5 500.0
##  [997] 500.5 501.0 501.5 502.0

plot(vector_x,E_y_x)

error <- rnorm(n = n, mean = 0, sd = sigma)

y_observado <- beta_0 + (beta_1 * vector_x ) + error

print(y_observado)

##    [1]  -9.265541   2.028646   2.937660   3.869384   5.619264   7.360592
##    [7]   9.597181  14.429291   7.118537  10.652279   6.483102  14.077727
##   [13]  15.625079   5.484622   3.383127  10.543646   7.664401   5.361710
##   [19]  18.823746  17.160776   3.050258  10.796101  12.281348  11.000155
##   [25]  15.074887  12.802274  16.139696  15.649304  16.824517  20.596477
##   [31]  17.512477  15.875106  15.660199  17.834672  23.038678  19.382678
##   [37]  16.682756  23.669010  23.053954  24.196648  17.280075  26.547745
##   [43]  32.843871  26.012656  15.428101  16.873824  24.947705  22.189917
##   [49]  32.810645  22.008560  29.094688  28.106801  24.494048  29.035585
##   [55]  28.843687  31.690343  28.804476  29.121890  32.188607  39.387922
##   [61]  25.946999  31.670173  35.291761  35.089666  33.482570  44.393269
##   [67]  34.647942  36.202546  27.516022  40.678747  40.505934  37.733686
##   [73]  36.485893  38.358421  39.127831  41.895726  41.022360  43.869311
##   [79]  41.487409  33.293631  46.007014  46.340168  43.307650  30.361798
##   [85]  38.446858  46.009403  43.606182  49.908762  56.240348  46.670516
##   [91]  44.916267  41.514288  49.015419  46.212810  42.992990  48.778560
##   [97]  51.668788  55.489479  48.413265  53.911428  55.407637  53.495620
##  [103]  49.383730  51.264664  53.980522  55.049370  52.070863  61.650524
##  [109]  56.008867  61.766359  60.503476  64.118084  53.906824  65.393542
##  [115]  52.102992  60.585501  64.699350  63.053040  62.412397  65.718989
##  [121]  56.698966  62.316500  58.716476  61.288476  64.163728  66.896376
##  [127]  68.362137  67.107193  73.120807  61.198593  64.914115  61.154078
##  [133]  68.453434  73.335860  69.347666  65.677687  71.764833  64.271905
##  [139]  68.477214  74.473414  75.625322  73.046914  74.782204  75.483451
##  [145]  78.939615  81.572851  74.979472  66.748252  74.872171  79.686641
##  [151]  76.264237  77.114668  76.972465  75.874119  74.614837  79.883959
##  [157]  77.197678  77.969892  79.334054  76.600718  80.710794  85.912116
##  [163]  82.575927  80.249849  81.895177  80.493869  84.603712  81.021345
##  [169]  77.383178  82.125694  86.757934  92.194819  79.615810  88.402900
##  [175]  90.099991  95.780725  95.664267  91.660829  92.307321  91.199442
##  [181]  94.751780  90.627674  95.740870  92.186361  97.273126  94.751578
##  [187]  90.615784  98.208120  95.274842  99.066993  93.981242  96.985319
##  [193] 100.018279  96.917646  96.605909 105.875634 102.882755 105.208926
##  [199] 104.852755 102.995486  98.944024 100.582438 105.375775 109.599393
##  [205] 102.171532 109.387365 104.906178 109.087417 103.100220 103.003452
##  [211] 112.676571 104.410939 112.737950 109.335340 107.930901 105.857007
##  [217] 105.491265 107.616343 110.896275 108.490330 108.247700 118.422837
##  [223] 116.485316 111.456689 119.010276 109.286637 114.700014 113.242019
##  [229] 114.994203 120.846571 115.551315 116.582148 120.711077 120.278320
##  [235] 122.503374 113.266525 118.014070 116.035079 121.798163 118.172809
##  [241] 127.292661 128.772185 127.245496 122.553616 122.868983 123.767254
##  [247] 123.603193 124.068996 129.793829 129.567219 129.013043 129.647393
##  [253] 129.622391 127.337691 134.011768 128.653053 137.296293 131.022219
##  [259] 130.757112 128.646890 131.515937 127.278725 141.599687 137.645591
##  [265] 141.968057 137.672219 133.688976 138.777617 134.443015 138.013143
##  [271] 134.369128 133.671307 128.625288 140.630644 145.346955 144.802831
##  [277] 138.823189 143.667246 144.078795 146.514479 143.870761 143.596282
##  [283] 143.613048 146.037859 150.991206 150.534877 150.592148 149.807308
##  [289] 148.593098 149.533588 144.753246 155.056930 151.141460 153.192276
##  [295] 149.782141 145.637842 151.104023 154.776958 149.998783 151.083057
##  [301] 155.671462 153.597301 152.461846 152.916740 151.863383 156.845020
##  [307] 154.530705 162.427797 155.602518 161.750836 153.690598 161.469722
##  [313] 163.010299 153.044913 159.538016 166.086049 158.597632 163.229112
##  [319] 158.824643 167.615507 163.395024 167.977319 166.728506 170.109100
##  [325] 159.285369 167.169306 160.694178 166.571654 164.073120 157.655112
##  [331] 168.798608 163.909142 167.974416 172.856515 175.650578 176.555039
##  [337] 167.631605 172.972786 162.076239 170.648110 178.404094 173.559135
##  [343] 167.206168 173.048448 169.069481 175.549638 177.176409 170.474740
##  [349] 175.798856 177.497981 171.247445 173.889131 173.400347 180.328334
##  [355] 180.342073 176.476584 188.526120 181.619194 191.496570 181.262353
##  [361] 179.893624 184.209107 185.332254 180.102931 176.275280 191.259255
##  [367] 191.665894 185.236948 185.286964 186.766325 190.446317 184.653539
##  [373] 201.359483 192.627786 189.034749 187.805433 189.639361 191.896128
##  [379] 195.750745 187.720068 189.751628 188.643408 199.948917 192.505760
##  [385] 191.718299 197.306856 197.712207 196.477588 195.991698 203.535596
##  [391] 200.707341 196.576718 199.497179 201.204693 195.567848 199.331934
##  [397] 207.241355 201.144083 202.815188 200.133860 196.282424 202.709178
##  [403] 206.811808 206.152802 199.338514 208.203747 210.446042 210.714271
##  [409] 213.304216 204.601236 208.201704 209.413339 214.802023 215.015860
##  [415] 208.320534 208.956146 207.300618 215.920216 214.535939 208.922329
##  [421] 214.204878 211.946548 213.509210 217.891529 217.815421 211.381764
##  [427] 219.141138 214.824631 215.151008 218.092296 219.110325 216.326643
##  [433] 220.660202 214.694054 227.341562 219.280536 223.373807 223.593935
##  [439] 222.583633 223.747752 225.602931 224.693224 218.941212 229.890763
##  [445] 217.544335 220.381504 230.224435 227.171083 227.023340 222.877020
##  [451] 227.791909 227.403662 227.841227 226.364997 229.234458 225.752192
##  [457] 227.598351 231.206864 230.960630 241.206867 233.941380 232.531573
##  [463] 237.738696 239.908031 230.863586 238.311611 238.307978 238.798197
##  [469] 234.331007 236.200720 237.463167 234.832624 239.585767 237.694200
##  [475] 234.176699 234.139977 243.225557 243.056163 243.671284 241.546864
##  [481] 244.544265 249.242251 248.957388 248.034055 245.673904 246.375226
##  [487] 239.318235 244.312557 247.673404 245.201081 256.701859 245.913761
##  [493] 242.644201 250.114914 248.624974 249.976235 251.013811 251.194173
##  [499] 252.460027 244.396518 261.673313 258.818199 254.874468 249.011531
##  [505] 253.925723 255.987432 251.605316 251.257305 260.143437 259.215913
##  [511] 258.256589 260.647611 263.002572 259.742351 253.883285 259.526766
##  [517] 259.652476 263.559505 260.076776 263.746374 258.182144 261.884827
##  [523] 263.866577 266.771189 260.547230 263.594274 270.642094 272.201849
##  [529] 267.419493 264.162520 265.438920 269.742620 264.685308 272.030936
##  [535] 266.662131 269.108769 277.434810 272.760171 274.843552 273.864145
##  [541] 282.742115 269.354760 275.599835 277.247630 281.571713 272.139505
##  [547] 274.436391 277.355075 274.713388 283.432214 279.420251 286.114388
##  [553] 282.348281 273.943627 280.473689 276.316526 285.247855 277.284674
##  [559] 277.565818 283.746303 279.572771 285.156227 284.650010 279.473353
##  [565] 288.668110 285.515644 285.986894 283.499818 289.623779 289.381117
##  [571] 287.574424 289.557505 294.374395 279.904182 296.895110 293.219946
##  [577] 288.596349 299.389704 290.404111 299.200482 294.524607 303.924934
##  [583] 290.762378 289.362536 291.827077 295.611421 297.516090 293.703960
##  [589] 295.411456 293.375499 295.589814 297.079774 297.640001 301.602918
##  [595] 299.911704 295.834171 290.466146 300.997352 305.775667 302.230375
##  [601] 304.671462 299.933488 311.105334 304.726298 308.549661 304.235342
##  [607] 308.231526 307.847146 300.090793 314.325897 308.148647 303.713190
##  [613] 307.551379 302.116400 314.127314 309.892431 309.381423 309.104443
##  [619] 313.557965 311.586999 312.129004 308.506769 312.931923 312.953436
##  [625] 316.331285 324.177663 318.382789 320.756939 319.920987 318.994367
##  [631] 317.542702 314.234985 321.420195 325.704414 316.645132 316.044825
##  [637] 323.675795 321.556617 315.955763 313.861739 326.795536 325.736815
##  [643] 314.824302 328.099728 325.451974 325.131236 322.632937 319.990054
##  [649] 323.996140 327.767415 328.114672 329.152268 330.817721 331.024415
##  [655] 328.242358 328.278875 330.653693 329.507130 325.828999 326.192650
##  [661] 337.087009 327.787032 337.225368 331.406881 332.791433 335.312026
##  [667] 337.022039 336.536775 339.075566 338.160727 338.810382 339.692456
##  [673] 347.123512 334.282048 339.347978 345.152070 337.340515 341.639172
##  [679] 337.794137 333.896360 342.380822 348.802788 347.337464 348.013165
##  [685] 344.282128 346.433430 347.921982 342.710095 350.147075 356.782976
##  [691] 344.890280 349.608202 353.883495 343.115519 349.996676 351.305610
##  [697] 352.609894 353.368425 352.224441 353.846822 352.805416 352.789138
##  [703] 355.843507 350.428624 347.651100 359.808707 356.012044 360.301229
##  [709] 356.181003 362.608294 358.108787 352.051227 353.298969 360.879583
##  [715] 357.689598 360.013792 362.437046 352.775901 358.151468 367.812651
##  [721] 369.767543 359.105722 359.862524 363.146111 367.289517 364.445608
##  [727] 367.455366 361.254291 369.916434 370.974973 372.888598 365.720296
##  [733] 372.749582 373.363895 375.130354 369.862537 367.847975 378.489652
##  [739] 369.590009 368.871551 371.554602 369.904352 371.130991 370.818494
##  [745] 372.861006 377.920785 375.651088 371.464377 365.456164 378.735999
##  [751] 374.112540 376.222674 380.117902 375.737087 385.965530 382.047476
##  [757] 376.267920 375.594777 377.486834 380.990322 385.345196 381.988560
##  [763] 382.431276 378.610329 384.868176 393.130869 380.631748 391.371372
##  [769] 385.548957 390.697413 390.585586 387.904856 390.087681 389.511307
##  [775] 389.380056 387.856161 391.634503 394.300604 396.806255 379.855424
##  [781] 390.471544 400.809673 396.711576 395.383267 389.233582 392.300110
##  [787] 401.094097 401.381000 391.341719 392.424322 395.317025 396.663795
##  [793] 395.351615 401.725386 397.213723 401.180504 399.272330 401.351139
##  [799] 401.700503 400.114878 408.131808 400.057449 405.242381 407.597894
##  [805] 402.652567 403.091423 406.806522 400.185329 403.455906 406.794075
##  [811] 409.950616 402.533425 399.461950 407.674106 410.738648 406.507409
##  [817] 407.676525 407.364338 408.216298 422.904292 413.673786 413.242213
##  [823] 415.496754 408.188281 409.254191 415.178024 416.157409 417.336312
##  [829] 414.591271 411.960069 417.008112 421.149164 418.481538 422.596943
##  [835] 420.405217 420.579384 419.611500 420.794681 422.380343 416.232951
##  [841] 420.503869 427.111943 421.115965 425.895258 425.958656 425.168995
##  [847] 419.743363 420.193497 425.488467 419.938266 426.745067 428.146736
##  [853] 427.314940 419.705481 435.009791 433.417581 430.169851 429.229599
##  [859] 427.642260 427.291852 429.187161 432.963893 438.743576 438.066404
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##  [871] 436.654107 446.120207 437.926523 435.403460 435.738268 443.334806
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plot(vector_x,y_observado)